Stap-voor-stap · directe invulling · 0/0 · ±∞ · regel van L'Hôpital
Theorie
▼
Limiet en eenzijdige limieten
lim
limx→a f(x) = L betekent: f(x) nadert L als x steeds dichter bij a komt (maar x ≠ a).
De limiet bestaat ⟺ linkerlimiet = rechterlimiet
links
limx→a⁻ f(x) — x nadert a van links (x < a). limx→a⁺ f(x) — x nadert a van rechts (x > a).
Technieken
invullen
Directe invulling — werkt altijd voor veeltermen, en voor rationale functies als de noemer ≠ 0.
limx→a f(x) = f(a) (als f continu is in a)
0/0
Onbepaalde vorm 0/0 — ontbind teller én noemer in factoren en vereenvoudig.
limx→2 (x²−4)/(x−2) = limx→2 (x+2) = 4
x→∞
Limiet naar oneindig — deel teller en noemer door de hoogste macht van x.
limx→∞ (2x²+x)/(x²−1) = 2/1 = 2
L'H
Regel van L'Hôpital — bij 0/0 of ∞/∞: vervang teller en noemer door hun afgeleide.
lim f/g = lim f′/g′ (bij 0/0 of ∞/∞)
Graden vergelijken bij x → ∞ (rationale functies)
gr(T) < gr(N)
Limiet = 0
gr(T) = gr(N)
Limiet = verhouding van hoofdcoëfficiënten
gr(T) > gr(N)
Limiet = ±∞
Asymptoten:
Verticale asymptoot x = a → noemer = 0 en teller ≠ 0.
Horizontale asymptoot y = L → limx→±∞ f(x) = L.
Schuine asymptoot y = ax+b → bepaald via deling.
