Gauss-Jordan eliminatie zet een stelsel om naar de rijcanonieke vorm
via drie elementaire rijoperaties. Vanuit die vorm lees je de oplossing direct af.
R𝑖 ↔ R𝑗
Rijwissel — wissel twee rijen om.
R₁ ↔ R₂
λ·R𝑖
Schaling — vermenigvuldig een rij met een getal λ ≠ 0.
R₁ ← (1/3)·R₁
R𝑖 + λ·R𝑗
Rijoptelling — tel een veelvoud van één rij op bij een andere.
R₂ ← R₂ − 2·R₁
Rijcanonieke matrix (RREF)
1
Elke nulrij staat onderaan de matrix.
2
De eerste niet-nul ingang van elke niet-nulrij is een
spil = 1.
3
Elke spil staat rechts van de spil erboven (
trapvorm).
4
Elke spil is de
enige niet-nul ingang in zijn kolom.
Oplossing aflezen: kolommen mét spil → hoofdonbekenden (volledig bepaald).
Kolommen zonder spil → nevenonbekenden (vrij te kiezen, parameter r, s, …).
Rij [0 0 … 0 | 0] → overtollige vergelijking (weglaten).
Rij [0 0 … 0 | c≠0] → valse vergelijking → stelsel is strijdig.
Aantal oplossingen
Laat r = rang(A) en n = aantal onbekenden.
1
Bepaald stelsel — juist één oplossing
r = n (rang = aantal onbekenden)
Alle onbekenden zijn hoofdonbekenden. De oplossing staat direct in de rijcanonieke matrix.
∞
Onbepaald stelsel — oneindig veel oplossingen
r < n → k = n − r vrijheidsgraden
k nevenonbekenden vrij kiezen (parameter r, s, …); hoofdonbekenden worden daardoor vastgelegd. Bij k = 1: enkelvoudig onbepaald, bij k = 2: tweevoudig onbepaald, enz.
∅
Strijdig stelsel — geen oplossing
rang(A) < rang([A|b])
Er verschijnt een valse vergelijking van de vorm 0 = c (c ≠ 0). Het stelsel is tegenstrijdig.
